Diviser avec le soroban

Le soroban est un outil formidable pour apprendre la numération et les quatre opérations arithmétiques de base. Nous avons vu comment compter, additionner et soustraire, multiplier dans les épisodes précédents. Nous allons voir dans cet article comme diviser avec le soroban. Si vous n’avez pas compris et appliqué les autres opérations au soroban, je vous recommande vivement de retourner voir ces articles. La division ne peut être étudiée seule, apprendre à diviser est en fait un condensé de toutes les opérations : addition, soustraction, multiplication. C’est-à-dire qu’il faut parfaitement maîtriser les autres opérations. Pour cela, nous allons revenir un peu sur l’algorithme de la division posée, qui est actuellement au programme du CM1 et CM2.

Pourquoi apprendre à faire une division posée ?

Mais tout d’abord, une petite précision. On pourrait se demander, à juste titre d’ailleurs, quel est l’intérêt de poser une division à la main aujourd’hui ? Nous avons tous des calculettes qui peuvent nous donner le résultat rapidement et sans effort. Voici cependant quelques bonnes raisons d’apprendre à poser une division :

Bien comprendre ce qu’est une division.

Le premier intérêt de poser une division par écrit est de bien comprendre ce qu’est la division. Le fait de décomposer l’opération permet de s’en faire une idée bien plus précise et bien plus fine qu’en ayant le résultat immédiat. Prenons un exemple, si vous montez à pieds un bâtiment de huit étages, vous vous rendez bien compte de la grandeur de ce bâtiment. Ce qui n’est pas du tout le cas si vous prenez l’ascenseur. Pour la division, c’est pareil, Si l’apprenant utilise systématiquement la calculette, sans avoir réellement compris ce qu’est l’opération comme la division, c’est comme utiliser une boite magique, qui lui donne le résultat, mais cela ne lui apprend rien.

Vérifier que toutes les autres opérations sont maîtrisées.

La maîtrise de la division posée permet de vérifier que toutes les autres opérations : addition, soustraction et multiplication ont bien été parfaitement assimilées. Car la division ne peut être apprise seule, car elle fait appel en réalité aux trois autres opérations arithmétiques. La division posée n’est pas difficile, mais nécessite d’avoir bien assimilé les autres opérations.

Pratiquer et s’entraîner au calcul mental

La division posée est un excellent entraînement au calcul mental. Elle permet de réviser ses tables de multiplication, et permet de s’entraîner à faire des soustractions simples si on ne pose pas les soustractions.

Se familiariser avec des notions plus complexes

La division posée permet de se familiariser avec des notions mathématiques qui seront abordées ultérieurement, comme savoir distinguer des nombres décimaux, rationnels et irrationnels. Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre défini de chiffres avant et/ou après la virgule exemple : 5 694,456 897. Par contre, un nombre rationnel, souvent appelés fraction, est un nombre comme 1/3 = 0,333333 dont le développement décimal est toujours périodique à partir d’un certain nombre de décimales. Enfin, un nombre irrationnels, par exemple : π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 82… est infini et ne comporte aucune répétition.

La division permet aussi de se familiariser intuitivement avec la notion d’approximation d’un nombre rationnel. Sans employer forcément le terme et rentrer dans des explications compliquées, la suite des quotients décimaux est le premier contact, dès le CM, avec les notions mathématiques extrêmement profondes de limite et de limite d’une suite. Par exemple, en fonction du nombre de décimales que nous allons obtenir à la division 5/7, nous allons comprendre que la suite 0,7; 0,71; 0,714; 0,7142 …. a en effet pour limite 5/7 car ses éléments sont la suite des quotients décimaux dans la «division poussée» de 5 par 7.

Comprendre et utiliser un algorithme complexe

La division posée permet de comprendre ce qu’est un algorithme complexe. Cela sera très utile pour tous ceux qui envisagent de poursuivre dans les mathématiques mais aussi d’envisager une voie dans l’informatique et le codage (par exemple celui des jeux vidéos !), mais pas seulement. Un algorithme en lui même permet de résoudre toutes sortes de problèmes. En effet, un algorithme est un ensemble d’opérations précises et définies qui permettent de résoudre tous types de problèmes. Le terme a tout d’abord été employé en numération et en mathématique. Il est maintenant très utilisé en informatique, mais aussi en planification, en traitement d’image.

Mais tout problème qui utilise une procédure précise et déterminée pour être résolue, est en réalité un algorithme. On pourrait presque dire qu’une recette de cuisine est un algorithme, s’il ne rentrait aucune part aléatoire dans sa réalisation. Ce qui n’est pas vraiment le cas. En tout cas, l’enseignement très intéressant que nous pouvons tirer de l’algorithme de la division posée, est que dans la plupart des cas, tout problème complexe peut être décomposé en une somme de problèmes plus simples. La résolution de ces problèmes simples étant acquise, le problème complexe le sera également. Nous pouvons ainsi envisager des problèmes de plus en plus complexes.

En résumé :

Ainsi cet algorithme de la division posée qui peut être enseignée dès le CE1, (comme c’était le cas avant 1970), voire au CM1 / CM2, permet de construire des connaissances et des compétences mathématiques, qui sans elles seront difficiles à intégrer. Un enfant qui aura parfaitement compris le principe de l’algorithme de la division posée, sera à même de comprendre très facilement des notions plus complexes comme celles que nous avons citées : différence entre les nombres décimaux, rationnels, irrationnels, notions de limite, etc.

Je reprendrais volontiers les propos de Ferdinand Buisson (Directeur de l’enseignement primaire au Ministère de l’Instruction Publique entre 1882 et 1896) qu’il tenait au sujet de la « méthode intuitive », dans son Dictionnaire de pédagogie et d’instruction publique (cité par Michel Delord), en les transposant pour la division posée.

« Dégagée des considérations psychologiques qui l’ont inspirée, [la division posée] fait faire aux enfants, d’eux-mêmes et par intuition, les opérations essentielles du calcul élémentaire ; elle a pour but de leur faire connaître les nombres : connaître un objet, ce n’est pas seulement savoir son nom, c’est l’avoir vu sous toutes ses formes, dans tous ses états, dans ses diverses relations avec les autres objets ; c’est pouvoir le comparer avec d’autres, le suivre dans ses transformations, le saisir et le mesurer, le composer et le décomposer à volonté. »

Diviser avec le soroban :

Diviser avec le soroban apporte les mêmes effets et les mêmes avantages que ceux de la division posée que nous avons vu ci-dessus. Elle apporte en plus, une vision concrète, presque physique de ce qu’est le nombre, donnant une familiarité encore plus grande avec celui-ci et les opérations arithmétiques de base.

Mais tout d’abord un peu de vocabulaire :

Le dividende est le nombre que l’on veut diviser.

Le diviseur est le nombre par lequel on veut le diviser.

Le quotient, c’est le résultat.

Et ensuite, il y a le reste (même s’il peut être égal à zéro).

Pour poser la division, il faut l’écrire de cette manière :

Voyons maintenant comment effectuer cette division.

Premier cas : diviseur à un chiffre.

L’algorithme de la division posée

Prenons un cas concret par exemple : 5 456 ➗ 8 =

Division posée de 5456 divisé par 8
Algorithme de la division posée de 5456 divisé par 8

Voyons maintenant comment effectuer cette opération sur le soroban :

La première chose à faire est de placer le dividende et le diviseur sur le soroban.

Pour garder les places usuelles de la division posée utilisée en France, nous allons poser le dividende sur le deuxième point unité en partant de la droite, puis le diviseur sur le point unité le plus à droite, comme sur la photo ci-dessous :

5456 divisé par 8 sur le soroban
5456 divisé par 8 sur le soroban

Comme vous pouvez le constater, le diviseur ne peut être supérieur à trois chiffres, ce qui est suffisant pour le moment.

Le quotient (résultat) va être placé à gauche du dividende selon la règle suivante :
– si le premier chiffre du diviseur est plus grand que le premier chiffre du dividende, le premier chiffre du quotient sera placé immédiatement à gauche du dividende,

– par contre, si le premier chiffre du diviseur est plus petit que le premier chiffre du dividende, le premier chiffre du quotient sera placé à gauche du dividende, en laissant une colonne vide.

– enfin, si le premier chiffre du diviseur et est égal au premier chiffre du dividende, ce sont les deuxièmes chiffres que l’on va comparer, selon la même règle que ci-dessus. (si les deux premiers chiffres du diviseur et du dividende sont égaux, on prendra le troisième chiffre, etc.)

Pour notre exemple : 8 > 5, le premier chiffre du quotient est donc placé sur la colonne bleue.

Nous allons ensuite appliquer le même algorithme que celui de la division posée à un chiffre que nous venons de voir.

Première étape :

Le premier chiffre est 5, mais il n’est pas divisible par 8,

– Nous prenons donc en compte le chiffre 54. En 54, nous trouvons 6 x 8. Nous allons donc activer le chiffre 6 sur la colonne bleue. Puis nous allons soustraire le produit 6 x 8 des 54 activés (colonnes blanche et rouge). 54 – 48 = 6, que nous effectuons directement sur le soroban.

Deuxième étape :

– Nous prenons maintenant en compte la colonne verte et lisons : 65. En 65, combien de fois 8, et la réponse est 8. Nous positionnons le deuxième chiffre du quotient à droite du premier sur la colonne blanche qui vient de se libérer. Nous enlevons 64 de 65, il reste un sur la colonne verte.

Troisième étape :

– Nous lisons maintenant 16 sur les colonnes verte et jaune. En 16, combien de fois 8 ? La réponse est 2. Nous posons le dernier chiffre du résultat sur la colonne rouge (à droite du 8 sur la colonne blanche). Nous enlevons 16 au 16 des colonnes vertes et jaunes, et nous tombons sur un reste égal à zéro.

Résultat :

Nous obtenons donc le quotient 682, qui est la résultat de la division de 5 456 par 8. Le reste n’est pas visible, puisqu’il est nul. Mais il le serait sur le soroban s’il n’était pas nul.

Le dividende n’est plus visible sur le soroban. Il s’est en quelque sorte « dissous », ou résorbé au fur et à mesure des opérations.

Vous trouverez tout cela expliqué en vidéo un peu plus bas.

Deuxième cas : diviseur à deux ou trois chiffres.

Le principe est le même que pour la division à 1 chiffre, mais le fait qu’il y ait deux chiffres introduit cependant une difficulté supplémentaire. En effet, il n’est pas aussi simple de déterminer le quotient, autrement dit de savoir combien de fois le diviseur « tient » dans les premiers chiffres du dividende.

Prenons un exemple : 71 557 ➗ 86 = ?

Comme pour la division à un chiffre nous allons poser le dividende et le diviseur autour d’un T incliné.

71557 divisé par 86
71557 divisé par 86

Présentation de l’algorithme :

Il existe plusieurs manières de poser cette division. Je ne vais pas vous montrer celle qui est habituellement utilisée en classe. Je vais vous montrer directement ce qui s’appelle la variante laotienne (ne me demandez pas pourquoi elle s’appelle comme ça, je suppose que c’est parce que c’est elle qui est utilisée au Laos). Cette variante permet d’être facilement appliquée au soroban. Et c’est celle que nous allons donc adopter (il existe également d’autres méthodes qu’il est possible d’appliquer au soroban, mais elles sont plus compliquées et nous ne les verrons donc pas pour le moment).

Vous allez voir, cette variante est un peu plus longue à écrire sur le papier, c’est pourquoi elle n’est pas utilisée en général. Mais en réalité, c’est presque plus simple de l’utiliser directement au soroban, mais nous verrons cela plus bas.

La variante laotienne de l’algorithme de division posée pour un diviseur à 2 Chiffres :

Algorithme de la division posée de 71557 divisé par 86
Algorithme de la division posée de 71557 divisé par 86

Je reconnais que l’explication de la méthode est un peu longue et fastidieuse. Bravo pour l’avoir suivie et comprise.

Diviser avec le soroban : 71557 divisé par 86

Nous allons maintenant effectuer cette division sur le soroban, et vous verrez, que ce n’est pas aussi compliqué que ça en a l’air.

Commençons par placer le dividende comme pour la division à 1 chiffre sur le deuxième point unité en partant de la droite, puis le diviseur sur le point unité de droite, comme sur la photo :

71557 divisé par 86 au soroban
71557 divisé par 86 au soroban

Comme le premier chiffre du diviseur est plus grand que le premier chiffre du dividende, le premier chiffre du quotient va être placé juste à gauche du premier chiffre du dividende, à savoir sur la colonne orange (c’est la même règle que celle pour la division à un chiffre que nous avons vue ci-dessus).

Première étape :

– Nous allons d’abord lire les deux premiers chiffres du dividende : à savoir 71. Mais 71 est plus petit que 86, il ne peut être divisé par lui.

– Nous lisons donc les trois premiers chiffres du dividende : 715. Et nous nous posons la question : en 715, combien de fois 86 ? Il y va 8 fois.

– Nous activons donc 8 sur la colonne immédiatement à gauche du dividende. (orange dans notre exemple).

– Puis nous prenons le premier chiffre du diviseur, que nous multiplions par notre premier chiffre du quotient. À savoir 8 x 8 = 64 ? Et nous allons l’ôter des deux premiers chiffres du dividende 71 (colonnes bleue et blanche). Ce qui fait 7, sur la colonne blanche.

– Nous multiplions maintenant le premier chiffre de notre quotient avec le deuxième chiffre du diviseur : 8 x 6 = 48 et nous l’ôtons à 75 (colonnes blanche et rouge). Nous obtenons 27 sur les colonnes blanche et rouge.

Deuxième étape :

– Nous lisons les trois premiers chiffres restants du dividende : 275. En 275, combien de fois 86 ? Il y va trois fois. Nous inscrivons le résultat sur la colonne bleue qui vient d’être désactivée.

– Nous multiplions 3 x 8 (notre deuxième chiffre du quotient avec lequel nous travaillons et le premier chiffre du diviseur) = 24, que nous ôtons à 27 (colonnes blanche et rouge). Il reste 3.

– Nous multiplions 3 x 6 (deuxième chiffre du quotient avec le deuxième chiffre du diviseur) = 18. Et nous l’ôtons à 31 (colonnes rouge et verte). Il reste 17 (sur les colonnes rouge et verte).

Troisième étape :

– Nous lisons les trois chiffres restant de notre dividende : à savoir 177. Et nous demandons : en 177, combien de fois 86. Il y va 2 fois. Nous inscrivons le résultat à droite de notre quotient dans la colonne blanche désactivée.

– Nous multiplions notre dernier chiffre de notre quotient par le premier de notre diviseur : à savoir 2 x 8 = 16, que nous ôtons à 17 (colonnes rouge et verte). Il reste 1 en colonne verte.

– Nous multiplions notre dernier chiffre de notre quotient par le deuxième et dernier de notre diviseur : 2 x 6 = 12, que nous ôtons à 17 (colonnes verte et jaune). Il reste 5 dans la colonne jaune.

Le quotient (résultat) de la division de 71 557 par 86 est 832 (colonnes orange, bleu et blanche), le reste est 5 (colonne jaune).

Toutes ces explications un peu fastidieuses à écrire sont mises en images dans la vidéo ci-dessous.

J’espère que vous avez suivi et compris toutes ces explications. Si vous n’avez pas tout compris, relisez bien les explications. Et si vous avez des questions, n’hésitez pas à nous laisser un commentaire sous l’article ou sous la vidéo. Et maintenant :

“À vos sorobans !”

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