De l’abaque au boulier, petite histoire de numération

Le boulier fait partie de la grande famille des abaques : à savoir tout instrument mécanique facilitant le calcul. Le mot abaque signifie « table à poussière » en grec. « Il était constitué d’une table recouverte de sable sur laquelle on dessinait à l’aide d’un stylet, les calculs pouvant être effacés au fur et à mesure en lissant avec la main. » (source : wikipedia). Mais comment l’abaque grec a pu devenir un boulier, et donner son nom à ce dernier ? Enquête sur une parenté pas si claire que cela.

La nécessité de dénombrer

Le besoin de dénombrer est très certainement apparu avec la chasse. Mais la possibilité de compter, de calculer et de noter ces résultats est devenu une nécessité avec l’agriculture et l’élevage. Il fallait pouvoir non seulement compter ses bêtes et aussi les sacs de blé, ainsi que mesurer la taille d’un champ. Alors, comment faire, quand on ne sait même pas encore écrire ? Car, il est avéré que la numération est bien antérieure à l’écriture.

Tout débute à l’époque de l’homme de Néandertal !

Il y a environ 300 000 ans, vivaient des bêtes qui ressemblaient à l’homme (à moins que ce ne soit l’inverse). Mais ces bêtes, moins bêtes que les autres, se distinguaient des autres bêtes par ce qu’elles chassaient ces dernières, non pas grâce à leur rapidité et à leurs grosses griffes, mais plutôt grâce à leur intelligence en les faisant tomber dans des ravins ou en les pourchassant avec des lances.

Cette bête moins bête que les autres s’appelait à l’époque l’homme de néanderthal. Il était physiquement robuste, lourd et trapu. Il mesurait 1m70 pour 90 kilos et un volume crânien de 1 500 cm³. Mais il faut dire qu’il faisait beaucoup de sport et qu’il vivait tout le temps dans la nature. Ça muscle !

Restauration de l'homme de néanderthal
Restauration de l’homme de néanderthal

C’est vrai qu’en y regardant bien, il ressemble étrangement à mon lointain cousin, le fils de la sœur du cousin de mon oncle dont je ne me souviens plus du nom.

Mais il paraît qu’il y a environ 30 000 ans, notre homme de néandertal a été remplacé par son cousin justement, l’homme de Cro-magnon, qui en fait était, lui, exactement comme nous, c’est-à-dire qu’il n’avait pas la grosse tête, enfin pas encore !

Mais les choses ne sont pas si simples, parce qu’il paraît que certains néandertal auraient fait des choses non-avouables avec certaines femelles Cro-magon, à moins que ce ne soit l’inverse. Toujours est-il que nous avons tous des gênes de néandertal. Je me dis que c’est sûrement de là que vient « la grosse tête », et peut-être les gênes de mon cousin.

L’entaille sur un bâton ou un os, la première manière de compter : il y a environ 30 000 ans.

Toujours est-il qu’à cet époque, c’est-à-dire il y a 30 000 ans, l’homme que nous allons appeler Cro-magnon chassait l’éléphant, les aurochs, le cerf, le sanglier à l’aide d’épieu, de sagaie et de harpons (cf ici). C’est ce que certains disent. En tout cas, son squelette ressemble à lui à celui d’un sportif de haut niveau d’aujourd’hui. Encore une fois, rien à voir avec néandertal, il ne faut pas confondre !

Or à cette époque, le gibier avait encore sa chance, car la chasse ne devait pas être aussi aisée qu’aujourd’hui. La survie de la tribu (en général une trentaine de personne) reposait sur la prise de ce gros gibier. Il était essentiel de sélectionner le meilleur chasseur pour guider les chasses. Mais comment faire ? La meilleure manière était de désigner celui qui avait le plus tué de grosses bêtes. Mais encore fallait-il comptabiliser le nombre que chacun avait tué.

Un os scarifié datant de 23 ans a été retrouvé en 1950 au bord du lac Édouard dans l’actuelle République démocratique du Congo. C’est fort probable qu’il servait à compter. Mais je n’étais pas sur place à l’époque pour vérifier, contrairement à ce que mes enfants ont l’air de croire, que je suis né à la préhistoire !

os Ishango

Soit dit en passant, si vous voulez réviser un peu votre préhistoire, mais aussi votre histoire, n’hésitez pas à consulter notre article sur “Comment aborder l’histoire avec ses enfants“.

Puis vient l’époque des premiers agriculteurs et éleveurs, et le comptage terme à terme aux cailloux.

Il y a environ 10 000 ans, les hommes ne sont plus des Cro-Magnon, mais sont devenus brutalement « intelligents », c’est à dire sapiens. C’est sûrement à partir de là qu’ils se sont chopé la grosse tête, mais c’est une autre histoire. En tout cas, nos homo sapiens commencent à domestiquer les espèces animales et végétales. Ils débutent l’élevage avec les chèvres, les moutons et les bovins, et cultivent le riz, l’orge, le maïs, le blé et le sorgho (plante herbacée pouvant atteindre 3 mètres de haut et cultivée aussi bien pour ses graines que pour son fourrage en particulier dans les régions tropicales semi-arides d’Afrique et d’Asie) .

Avec l’agriculture, apparaît l’écriture, mais aussi la numération. Ou plutôt l’inverse. Car la numération apparaît avant l’écriture. En effet, il était important de pouvoir noter ce que chacun possédait, mais aussi de le comptabiliser.

Le début de la numération utilise le principe de la correspondance terme à terme.

Les éleveurs de l’époque commençaient à domestiquer toutes sortes d’animaux, des bovins issus de l’auroch sauvage, des yaks, des moutons des chèvres, mais aussi des chevaux ou des ânes et des camélidés tels que les chameaux et les lamas. Comme tous ces animaux sont herbivores, ces pasteurs nomades ou semi-nomades se déplaçaient souvent pour chercher de nouveaux pâturages pour leurs troupeaux. Surtout que beaucoup vivaient dans des régions semi-désertiques. C’est en effet en Inde, au Liban et sur le plateau iranien qu’on été retrouvées les traces les plus anciennes de ces pasteurs. Ainsi, ils devaient avoir besoin de connaître la taille exacte de leur troupeau pour ne pas en perdre en cours de route.

Comptage terme à terme

Du coup, pour compter leur troupeau, ils utilisaient le principe du comptage terme à terme. C’est-à-dire qu’à un mouton, on associe un cailloux, que l’on place dans un seau ou dans un panier. À chaque mouton, on fait tomber un petit caillou dans un panier ou dans un seau. Il suffisait de refaire la même chose en sens inverse, le soir par exemple, mais cette fois-ci en enlevant les cailloux, pour vérifier « que l’on avait son compte ». Il était ainsi possible de comparer le nombre de cailloux avec les moutons réellement présents. S’il restait des cailloux, c’est que des moutons s’étaient égarés. Et s’il manquait des cailloux, c’est que les moutons avaient fait des petits !

Pour l’anecdote, le caillou, se dit calculus en latin. Ça ne vous rappelle rien ? Eh bien si, c’est de là que vient le mot « calcul ». D’ailleurs, le mot calcul a gardé le sens de caillou, quand il est par exemple dans les reins, occasionnant de douloureuses coliques néphrétiques.

Puis on compte par paquets.

Mais revenons à nos moutons ! D’accord, le berger faisait un grand tas de cailloux, puis quand il devait compter son troupeau dans l’autre sens, il enlevait un à un ses cailloux. Mais il ne devait pas se tromper quand plusieurs moutons se précipitaient. Et surtout, il ne fallait pas renverser son panier de cailloux ! Et comment faire pour se déplacer ? Cela ne devait pas être pratique d’emporter son sac de petits cailloux sur le dos. C’est peut-être de là qu’est née l’histoire du Petit Poucet. Même s’il pouvait remplacer ses cailloux par des graines, ce n’était pas simple. (là, le Petit Poucet, ça marche plus, car les petits oiseaux viennent manger les graines, c’est bien connu:)

En tout cas, à un moment donné, il a dû se dire que s’il pouvait noter la quantité totale de cailloux qu’il avait, ça serait quand même plus pratique. Il s’est alors mis à faire des tas. En groupant les cailloux par 10, par exemple. Puis il compte les tas, mais arrivé à 10 tas, de 10 cailloux, comment on fait ? Le pasteur de l’époque, qui commençait à se prendre la tête, s’est dit qu’il pouvait utiliser un gros cailloux pour un tas. Vous avez compris, un gros caillou remplace dix petits ! Pas mal comme idée. Et puis un très gros cailloux qui est l’équivalent de 10 gros cailloux, et qui vaut 100. Et le système de la numération en base 10 était né !

De la quantité au nombre.

Mais tout ça s’est bien quand on compte jusqu’à mille ! Et encore, il faut se promener avec des tas de cailloux, des petits, des moyens, des gros. Mais quand la quantité augmente, il faut penser à se simplifier la vie. Apparaît alors la notion de nombre, qui est la représentation abstraite d’une quantité.

Au départ, la quantité et le nombre ont l’air de correspondre et de représenter la même chose, notamment pour l’enfant. Mais il ne faut pas s’y tromper, le nombre acquiert rapidement une valeur abstraite, différente du dénombrement. Pour dire les choses autrement, un nombre n’est pas toujours la représentation d’une quantité, car certains nombres ne sont que le résultat de calculs. C’est le cas par exemple pour π qui est un nombre irrationnel, mais qui ne correspond à aucune quantité.

En soi, le nombre n’est pas une quantité. Il ne peut pas non plus de résumer à un simple numéro.

Mais alors, qu’est-ce qu’un nombre ?

Tout d’abord, ne pas confondre les nombres et les chiffres. Les chiffres que nous connaissons sont les chiffres « arabes » que nous utilisons tous pour « noter » les nombres (nous y reviendrons). Les chiffres ne sont que des signes. Mais les nombres qu’ils représentent, qu’est-ce que c’est ?

Chiffres - Image par Gerd Altmann de Pixabay

Les nombres peuvent servir à mesurer, à dénombrer, à faire des calculs. Ils peuvent être classés en différentes catégories. Mais ils ne sont rien de tout cela. Alors, qu’est-ce qu’un nombre ?

Pas évident de définir ce concept mathématique. D’ailleurs, même les mathématiciens ont du mal à définir ce que c’est.

Wikipedia nous dit que c’est : « un concept permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d’ordonner des éléments par une numérotation. »

Pas beaucoup plus avancé ! J’avoue que ce n’est pas très clair.

Si l’on cherche un peu, les dictionnaires ont au moins l’honnêteté d’avouer leur ignorance :

Le Petit Robert de la langue française et le Trésor de la Langue Française Informatisé rapportent que « le nombre est une des notions fondamentales de l’entendement […] qu’on ne peut définir. » Le Petit Larousse illustré soutient que le nombre « ne peut faire l’objet d’une définition stricte ».

De même, le cnrtl avoue également son ignorance :
« Le nombre est un concept de base des mathématiques, une des notions fondamentales de l’entendement que l’on peut rapporter à d’autres idées (pluralité, ensemble, correspondances) mais qu’on ne peut définir. »

Voilà, une petite vidéo, qui vous permettra peut-être d’y voir plus clair dans toutes les sortes de nombres, mais qui tout en prétendant définir ce que c’est, nous dit seulement comment les classer !

Le nombre, une notion abstraite et sacrée.

géométrie sacrée - Image par Speedy McVroom de Pixabay

En son temps, Saint Bernard de Clairvaux (1090 – 1153), reprenant la lettre de Saint Paul aux Éphésiens, faisait cette réflexion profonde pleine de sagesse : « Qu’est-ce que Dieu ? Il est largeur, hauteur, profondeur ». Tout en me laissant parfaitement dubitatif, il en ressort que la notion de nombre pourrait être directement liées à la notion de sacré et de divin. La science que nous croyons totalement matérialiste, ne serait-elle pas finalement construite sur un malentendu. Puisqu’un de ses briques principales serait un concept proche de la notion de divin. Curieux paradoxe !

L’idée de nombre comme origine de toutes choses n’est pas aussi aberrante qu’il y paraît au premier abord. En physique quantique, tout est onde, et les ondes ne sont que des fréquences, c’est-à-dire des nombres. On pourrait aussi invoquer la géométrie sacrée, qui utilise elle aussi la particularité de certains nombres particuliers, comme le nombre d’or par exemple. Mais cela nous entraînerait trop loin.

Première numération écrite

L’apparition des premiers systèmes de numération écrits coïncide avec l’apparition de l’écriture. C’est à Sumer, en Mésopotamie qu’ils apparaissent il y a 5 000 ans. Les premiers chiffres sont donc en forme de clou, comme cette première écriture cunéiforme, mais ne connaissent pas encore le zéro.

Grâce à l’héritage de ces derniers, les babyloniens, et ce, il y a environ 4 000 ans, développent un système de numération sexagécimal, c’est-à-dire en base 60. Car c’est plus pratique pour calculer des angles et des temps, nécessaires aux calculs astronomiques. C’est d’ailleurs cette base que nous avons conservée pour les minutes, les secondes et les degrés.

Mais ces systèmes de numération servaient aussi de manière plus pragmatique à enregistrer des contrats de vente, de domaines, et à compter des animaux, des chèvres, des brebis, des agneaux.

Je ne m’attarderai pas plus sur l’histoire des nombres, dont vous pourrez trouver d’intéressants exemples ici ou , ou ce très intéressant dossier sur la grande aventure des nombres.

La numération en base 10 dite « de position »

La numération en base 10 est très certainement lié aux nombres de doigts des deux mains. On aurait tout aussi bien pu compter en base 5, qui est le nombre de doigts d’une seule main.

En tout cas l’apparition de la numération décimale dite de position représente une grande avancée. Elle attribue une valeur différente en fonction de l’endroit où se trouve placé le chiffre. Elle est utilisée très tôt par les Chinois dès la dynastie Shang, il y a 3 200 ans. Bien que ces derniers ne connaissaient pas encore le « zéro ».

Il peut paraître évident que dans la lecture d’un nombre tel que 3 589, le 9 correspond aux unités, le 8 aux dizaines, le 5 aux centaines et le 3 aux milliers. Cela n’est pas aussi simple que cela, et cela ne l’est pas forcément pour l’enfant. Car il doit comprendre que le chiffre ‘1’ placé sur la deuxième colonne vaut en réalité ‘10’. C’est comme s’il comptait le nombre de tas de 10…

Les chiffres arabes et l’apparition du « zéro ».

En fait, les chiffres « arabes » que nous connaissons sont nés en Inde il y a environ 1 500 ans. Les Indiens ont eu l’idée géniale d’inventer le ‘zéro’ pour dire quand il n’y avait rien sur une position. L’apparition du zéro, ça n’a l’air de rien, mais c’est une petite révolution dans l’histoire des nombres.

Les origines des chiffres indo-arabes

Ce sont donc les Arabes, et en particulier le perse Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (790 ; 850) qui contribuent à la propagation du système de numération indien par son “Livre de l’addition et de la soustraction d’après le calcul des Indiens” et ses nombreuses traductions en latin.
Le moine
Gerbert d’Aurillac (945 ; 1003) qui deviendra pape en 999 sous le nom de Sylvestre II, est passionné par les mathématiques et transcrit ces textes et tente de répandre cette nouvelle notation. Mais les choses ne se font pas aussi simplement, car l’apparition des chiffres arabes se heurte partout à l’utilisation des abaques romains, largement répandus et amplement suffisants pour les calculs de l’époque. Ils sont encore interdits partout en l’an 1300, et il faut attendre la Renaissance pour que les chiffres indo-arabes écartent définitivement leurs prédécesseurs romains.

Et l’origine du boulier dans tout ça ?

Le boulier est apparu indépendamment dans différentes civilisations éloignées les unes des autres, que ce soit en occident, en extrême orient, ou en Russie, ou même en Amérique Latine. Comme nous l’avons vu, le boulier est en réalité bien antérieur à l’apparition des nombres, qui eux sont complexes et très récents.

En occident : le boulier romain,

Les anciens Grecs, probablement sous l’influence des Babyloniens, avaient mis au point un abaque il y a 2 500 ans. C’était une sorte d’ardoise effaçable, faite avec du sable et sur lesquelles on écrivait avec un stylet. Le mot abaque signifie d’ailleurs « table à poussière ». Ces abaques furent développés et utilisés au moyen-âge sous la forme de « tables à calcul ». Des colonnes étaient dessinées dessus et séparaient les différents ordres de numération. Il suffisait de placer des jetons ou des cailloux, là où l’on avait besoin. Ces abaques à jetons furent utilisés pendant une bonne partie du Moyen-Âge.

table à calculTables à calcul

Les Romains améliorent le procédé de l’abaque, en utilisant des galets que l’on vient placer dans des rainures, créant une sorte d’intermédiaire entre l’abaque grec et le boulier. Cet abaque est un meuble à l’origine, donc difficilement transportable. Mais ces derniers en inventent une version plus réduite et transportable.

Le boulier romain ressemble étrangement au soroban, puisqu’il dispose de quatre billes unaires en bas, et d’une bille quinaire en haut. Une partie du boulier à droite permettait de calculer les onces et les fractions d’once en base 12.

Boulier romain

Pourtant, ce boulier romain, ne sera qu’assez peu utilisé pendant tout le moyen-âge. Les commerçants leur préféraient généralement leurs tables à calculs. Allez savoir pourquoi.

Pour en savoir plus sur l’abaque romain et la manière de compter, vous pouvez vous rendre ici.

Le boulier russe : le stchoty

Le stchoty russe (prononcé choti) est un boulier à 10 boules. Les colonnes sont horizontales et légèrement incurvées, de manière à ce que les billes restent groupées. Les billes n°5 et 6 sont colorées, de manière à mieux se repérer.

Le boulier russe : le stchoty

Le stchoty est resté très longtemps en usage chez les commerçants pendant tout le 19e et 20e siècle, et ce, jusqu’à l’arrivée de la calculette électronique.

C’est ce type de boulier à 10 billes qui devait encore être en usage à la révolution française, lorsque cette dernière en a interdit l’usage.

Les origines du boulier chinois, le suan pan

Selon certaines sources, le boulier chinois remonterait à la plus haute antiquité, probablement à l’époque des Zhou de l’Ouest, il y a 2 300 ans. Mais aucune document fiable ne permet de l’attester.

Boulier chinois. Photo : apprendre par le jeu

Les premières représentations du boulier remontent au 12e siècle dans des livres de la dynastie Myng et permettent de valider sa présence de manière sûre.

Du suan pan au soroban

L’utilisation du suan pan est d’un usage courant, en orient, puisqu’il s’exporte au Japon dès le 14e siècle. Ces derniers vont perfectionner le suan pan, en supprimant une des deux boules quinaires, et une des cinq boules unaires.

Soroban japonais

Les Japonais vont peu à peu améliorer la forme des billes et la technicité de cet outil, jusqu’en 1920 environ, où le soroban acquiert les caractéristiques qu’il conserve encore aujourd’hui.

L’histoire de l’origine du boulier s’étale ainsi sur plusieurs siècles et divers continents, puisqu’il existait également des formes de bouliers au Mexique. En tout cas les bouliers sont des objets fascinants qui n’ont certainement pas fini de livrer tous leurs secrets. Il est certainement dommage pour l’apprentissage de l’arithmétique que l’usage du boulier se soit perdu. Mais il semble qu’il y ait un regain d’intérêt pour ces formes de pratique et en particulier pour le soroban récemment. Et ce n’est que tant mieux.

Le soroban et le boulier en général peut-il être un outil utile pour apprendre à compter et à calculer ? En particulier pour les enfants ? Ou bien cela vous paraît être complètement inutile, et venir d’un autre monde, face à la calculette présente partout ?

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